حل کار در کلاس وتمرین صفحه 49 ریاضی هشتم

یک قانون کلی در هندسه وجود دارد که بیان می‌کند: **«مجموع زاویه‌های خارجی هر چندضلعی محدب (چه منتظم و چه غیرمنتظم) همواره برابر با $۳۶۰$ درجه است.»** بنابراین، نیازی به محاسبه جداگانه برای هر شکل نیست. **الف) هشت‌ضلعی:** مجموع زاویه‌های خارجی آن **$۳۶۰$ درجه** است. **ب) ده‌ضلعی منتظم:** مجموع زاویه‌های خارجی آن نیز **$۳۶۰$ درجه** است.

**الف) اندازه هر زاویه خارجی:** از سوال قبل می‌دانیم که مجموع زوایای خارجی یک ده‌ضلعی $۳۶۰$ درجه است. از آنجایی که این ده‌ضلعی **منتظم** است، تمام ۱۰ زاویه خارجی آن با هم برابر هستند. بنابراین، اندازه هر زاویه خارجی برابر است با: $ \text{اندازه هر زاویه خارجی} = \frac{\text{مجموع زوایای خارجی}}{n} = \frac{۳۶۰^\circ}{۱۰} = ۳۶^\circ $ **ب) اندازه هر زاویه داخلی:** در هر رأس، زاویه داخلی و خارجی مکمل یکدیگرند (مجموع آنها $۱۸۰$ درجه است). بنابراین: $ \text{اندازه هر زاویه داخلی} = ۱۸۰^\circ - \text{اندازه هر زاویه خارجی} $ $ \text{اندازه هر زاویه داخلی} = ۱۸۰^\circ - ۳۶^\circ = ۱۴۴^\circ $

برای اینکه یک کاشی‌کاری صحیح باشد، مجموع زوایایی که در یک رأس به هم می‌رسند باید دقیقاً $۳۶۰$ درجه باشد. ابتدا زاویه داخلی هر کاشی را با فرمول $ \frac{(n-۲) \times ۱۸۰^\circ}{n} $ محاسبه می‌کنیم. - **طرح سمت راست:** این طرح از **دو نوع** کاشی تشکیل شده است: شش‌ضلعی منتظم (سبز) و مثلث متساوی‌الاضلاع. - زاویه داخلی شش‌ضلعی منتظم ($n=۶$): $ \frac{(۶-۲) \times ۱۸۰^\circ}{۶} = ۱۲۰^\circ $ - زاویه داخلی مثلث متساوی‌الاضلاع ($n=۳$): $ \frac{(۳-۲) \times ۱۸۰^\circ}{۳} = ۶۰^\circ $ در هر رأس مشخص شده، دو شش‌ضلعی و دو مثلث به هم می‌رسند. مجموع زوایای آنها: $ (۲ \times ۱۲۰^\circ) + (۲ \times ۶۰^\circ) = ۲۴۰^\circ + ۱۲۰^\circ = ۳۶۰^\circ $ - **طرح سمت چپ:** این طرح یک کاشی‌کاری نیمه‌منتظم معروف است که از **سه نوع** کاشی تشکیل شده است: مربع، شش‌ضلعی منتظم و دوازده‌ضلعی منتظم. - زاویه داخلی مربع ($n=۴$): $۹۰^\circ$ - زاویه داخلی شش‌ضلعی منتظم ($n=۶$): $۱۲۰^\circ$ - زاویه داخلی دوازده‌ضلعی منتظم ($n=۱۲$): $ \frac{(۱۲-۲) \times ۱۸۰^\circ}{۱۲} = ۱۵۰^\circ $ در هر رأس، یک مربع، یک شش‌ضلعی و یک دوازده‌ضلعی به هم می‌رسند. مجموع زوایای آنها: $ ۹۰^\circ + ۱۲۰^\circ + ۱۵۰^\circ = ۳۶۰^\circ $

**الف) اندازه چرخش در هر گوشه:** لاک‌پشت برای حرکت در امتداد ضلع بعدی، باید به اندازه **زاویۀ خارجی** آن گوشه بچرخد. **ب) مجموع چرخش‌ها برای یک دور کامل:** برای اینکه لاک‌پشت یک مسیر بسته را طی کند و به نقطه شروع با همان جهت اولیه بازگردد، باید یک دور کامل بچرخد. بنابراین، روی هم **$۳۶۰$ درجه** می‌چرخد. **ج) مجموع چرخش برای هر باغچه:** مجموع چرخش‌ها برابر با مجموع زوایای خارجی چندضلعی است. از آنجایی که مجموع زوایای خارجی هر چندضلعی محدب $۳۶۰$ درجه است، لاک‌پشت برای پیمودن محیط هر کدام از این باغچه‌ها (مثلث، مربع، پنج‌ضلعی و شش‌ضلعی) دقیقاً **$۳۶۰$ درجه** خواهد چرخید. **د) الگوی مشاهده شده:** الگویی که مشاهده می‌شود این است که **مجموع کل چرخش‌ها برای پیمودن یک مسیر بسته، همیشه $۳۶۰$ درجه است و به تعداد اضلاع یا شکل چندضلعی بستگی ندارد.** این مفهوم همان قضیه مجموع زوایای خارجی چندضلعی است.

در متوازی‌الاضلاع، زوایای داخلی روبه‌رو با هم برابر هستند. از آنجایی که زاویه خارجی مکمل زاویه داخلی مجاورش است، نتیجه می‌گیریم که **زوایای خارجی در رأس‌های مقابل نیز با هم برابرند**. بنابراین: - زاویه خارجی نارنجی با زاویه خارجی قرمز **مساوی** است. - زاویه خارجی سبز با زاویه خارجی بنفش **مساوی** است.